Rasio emas adalah proporsi yang dianggap paling sempurna dan harmonis sejak zaman dahulu. Ini membentuk dasar dari banyak struktur kuno, dari patung hingga kuil, dan sangat umum di alam. Pada saat yang sama, proporsi ini dinyatakan dalam konstruksi matematika yang sangat elegan.
instruksi
Langkah 1
Proporsi emas didefinisikan sebagai berikut: pembagian segmen menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga bagian yang lebih kecil mengacu pada bagian yang lebih besar dengan cara yang sama seperti bagian yang lebih besar mengacu pada keseluruhan segmen.
Langkah 2
Jika panjang seluruh segmen diambil sebagai 1, dan panjang sebagian besar diambil sebagai x, maka proporsi yang dicari akan dinyatakan dengan persamaan:
(1 - x) / x = x / 1.
Mengalikan kedua sisi proporsi dengan x dan mentransfer istilah, kita mendapatkan persamaan kuadrat:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Langkah 3
Persamaan memiliki dua akar real, yang secara alami kita hanya tertarik pada positif. Ini sama dengan (√5 - 1) / 2, yang kira-kira sama dengan 0, 618. Angka ini menyatakan rasio emas. Dalam matematika, ini paling sering dilambangkan dengan huruf.
Langkah 4
Bilangan memiliki sejumlah sifat matematika yang luar biasa. Misalnya, bahkan dari persamaan aslinya terlihat bahwa 1 / = + 1. Memang, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Langkah 5
Cara lain untuk menghitung rasio emas adalah dengan menggunakan pecahan tak terhingga. Mulai dari sembarang x, Anda dapat menyusun pecahan secara berurutan:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
dll.
Langkah 6
Untuk memudahkan perhitungan, pecahan ini dapat direpresentasikan sebagai prosedur berulang, di mana untuk menghitung langkah selanjutnya, Anda perlu menambahkan satu ke hasil langkah sebelumnya dan membaginya dengan angka yang dihasilkan. Dengan kata lain:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Proses ini konvergen, dan limitnya adalah + 1.
Langkah 7
Jika kita mengganti perhitungan kebalikan dengan ekstraksi akar kuadrat, yaitu, kita melakukan loop berulang:
x0 = x
x (n + 1) = (xn + 1), maka hasilnya akan tetap tidak berubah: terlepas dari x yang dipilih awalnya, iterasi konvergen ke nilai + 1.
Langkah 8
Secara geometris, rasio emas dapat dibangun menggunakan pentagon biasa. Jika kita menggambar dua diagonal yang berpotongan di dalamnya, maka masing-masing akan membagi yang lain secara ketat dalam rasio emas. Pengamatan ini, menurut legenda, milik Pythagoras, yang sangat terkejut dengan pola yang ditemukan sehingga ia menganggap bintang berujung lima (pentagram) yang benar sebagai simbol suci yang suci.
Langkah 9
Alasan mengapa rasio emas yang tampaknya paling harmonis bagi seseorang tidak diketahui. Namun, percobaan telah berulang kali menegaskan bahwa subjek yang diperintahkan untuk membagi segmen menjadi dua bagian yang tidak sama paling indah melakukannya dalam proporsi yang sangat dekat dengan rasio emas.
